Дроби древнего мира
Дроби в современном мире играют не последнюю роль. Если оглянуться вокруг то заметишь, что дроби сопровождают нас повсюду. Ведь человеку часто бывает необходимо делить целое на части.
Рассмотрим историю возникновения и развитие дробей.
Рассмотрим историю возникновения и развитие дробей.
ДРЕВНИЙ ЕГИПЕТ
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
О дробях в Древнем Египте все узнали когда удалось расшифровать папирусный свиткок. Он был найден в Луксоре в 1858 г. Генрихом Риндом. Папирус Ринда был написан писцом по имени Ахмес примерно в 1650 г. до нашей эры. Это рукопись содержит 84 математические задачи и их решения. В том числе задачи на дроби.
Оказалось, что египтяне использовали дроби с числителем единица.
Называли их основными (или аликвотными) дробями.
Все остальные дроби представлялись в виде суммы аликвотных. Например 7/8=1/2+1/4+1/8 как в известной задаче о делении 7 хлебов между 8 людьми. Это решение даёт нам понять, что не обязательно делить каждый хлеб на 8 частей.
Можно сделать вывод, что возникновение и применение дробей в Древнем Египте было связано с практическими задачами.
Называли их основными (или аликвотными) дробями.
Все остальные дроби представлялись в виде суммы аликвотных. Например 7/8=1/2+1/4+1/8 как в известной задаче о делении 7 хлебов между 8 людьми. Это решение даёт нам понять, что не обязательно делить каждый хлеб на 8 частей.
Можно сделать вывод, что возникновение и применение дробей в Древнем Египте было связано с практическими задачами.
При записи дроби египтяне использовали знак «хекат».
«Хекат» основная мера объёма в Древнем Египте (4, 785 литра). Применялась для измерения зерновых и сыпучих веществ. Значит, была практическая необходимость делить меру на части.
Кроме аликвотных дробей египтяне использовали дроби 2/3 и 3/4.
«Хекат» основная мера объёма в Древнем Египте (4, 785 литра). Применялась для измерения зерновых и сыпучих веществ. Значит, была практическая необходимость делить меру на части.
Кроме аликвотных дробей египтяне использовали дроби 2/3 и 3/4.
Части Уаджета (или глаза Гора) использовались для написания дробей от 1/2 до 1/64. По одной из версий мифа, Сет разрезал вырванный глаз Гора на 64 части. Поэтому неполное изображение глаза обозначает дробное число. Например, зрачок- 1/4, бровь-1/8 и т. д.
Египетские дроби применяли при решении задач и в других странах. Например в Древней Греции и Индии.
Фибоначчи работал над алгоритмом разложения дроби на сумму аликвотных дробей.
М. Воуз в 1985 году построил современный алгоритм разложения.
С египетскими дробями связаны вопросы теории чисел.
Есть гипотеза, что любая дробь с числителем 4 может быть разложена в сумму трех аликвотных, независимо от значения знаменателя n. Эту гипотезу проверили на компьютере для значений n до 1014, однако доказательства для всех n пока не найдено.
Фибоначчи работал над алгоритмом разложения дроби на сумму аликвотных дробей.
М. Воуз в 1985 году построил современный алгоритм разложения.
С египетскими дробями связаны вопросы теории чисел.
Есть гипотеза, что любая дробь с числителем 4 может быть разложена в сумму трех аликвотных, независимо от значения знаменателя n. Эту гипотезу проверили на компьютере для значений n до 1014, однако доказательства для всех n пока не найдено.
НАШЕ РАЗЛОЖЕНИЕ АЛИКВОТНОЙ ДРОБИ.
1-Й СПОСОБ: РАЗЛОЖИЛИ ДРОБЬ 5/7 ПО АЛГОРИТМУ, ДОКАЗАННОМУ ФИБОНАЧЧИ.
2-Й СПОСОБ: РАЗЛОЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
1) УМНОЖИЛИ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НА ТАКОЕ ЧИСЛО, ЧТОБЫ НОВЫЙ ЧИСЛИТЕЛЬ БЫЛ БОЛЬШЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ЗНАМЕНАТЕЛЯ, НО МИНИМАЛЬНО. МЫ УМНОЖИЛИ НА 2
2) ПОЛУЧИВШУЮСЯ ДРОБЬ ПРЕДСТАВИЛИ В ВИДЕ СУММЫ , ТАК ЧТОБЫ ПОСЛЕ СОКРАЩЕНИЯ ОДНА ИЗ ДРОБЕЙ ПОЛУЧИЛАСЬ АЛИКВОТНОЙ:1/2 И 3/14.
3) ДАЛЕЕ РАБОТАЛИ С ДРОБЬЮ 3/14 ПРЕДСТАВИЛИ В ВИДЕ СУММЫ 1/14 И 1/7.
МОЖНО БЫЛО ПОСТУПИТЬ КАК В П.1.
3-Й СПОСОБ: ЕСЛИ ЗНАМЕНАТЕЛЬ СОСТАВНОЕ ЧИСЛО.
1) ЧИСЛИТЕЛЬ ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ СУММЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЗНАМЕНАТЕЛЯ.
2) СОКРАТИТЬ ПОЛУЧЕННЫЕ ДРОБИ.
1-Й СПОСОБ: РАЗЛОЖИЛИ ДРОБЬ 5/7 ПО АЛГОРИТМУ, ДОКАЗАННОМУ ФИБОНАЧЧИ.
2-Й СПОСОБ: РАЗЛОЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
1) УМНОЖИЛИ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НА ТАКОЕ ЧИСЛО, ЧТОБЫ НОВЫЙ ЧИСЛИТЕЛЬ БЫЛ БОЛЬШЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ЗНАМЕНАТЕЛЯ, НО МИНИМАЛЬНО. МЫ УМНОЖИЛИ НА 2
2) ПОЛУЧИВШУЮСЯ ДРОБЬ ПРЕДСТАВИЛИ В ВИДЕ СУММЫ , ТАК ЧТОБЫ ПОСЛЕ СОКРАЩЕНИЯ ОДНА ИЗ ДРОБЕЙ ПОЛУЧИЛАСЬ АЛИКВОТНОЙ:1/2 И 3/14.
3) ДАЛЕЕ РАБОТАЛИ С ДРОБЬЮ 3/14 ПРЕДСТАВИЛИ В ВИДЕ СУММЫ 1/14 И 1/7.
МОЖНО БЫЛО ПОСТУПИТЬ КАК В П.1.
3-Й СПОСОБ: ЕСЛИ ЗНАМЕНАТЕЛЬ СОСТАВНОЕ ЧИСЛО.
1) ЧИСЛИТЕЛЬ ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ СУММЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЗНАМЕНАТЕЛЯ.
2) СОКРАТИТЬ ПОЛУЧЕННЫЕ ДРОБИ.
ДРЕВНИЙ ВАВИЛОН
шестидесятеричная система счисления
Благоприятный климат Междуречья способствовал переселению на эту территорию выходцев из Африки. Территорию нынешнего Ирака заселили два народа: сумерийцы и аккадяне. Это произошло около 4000 лет назад. А через 200 лет эти народы образовали государство Вавилон.
В древнем Вавилоне для дробей был принят постоянный знаменатель, равный 60-ти. Вавилоняне пользовались шестидесятеричной позиционной системой счисления. Несмотря на то, что происхождение такой системы остается неясным, факт ее широкого распространения в Вавилонском государстве точно установлен. Эта система сохранилась и до наших дней (например, в делении часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд и в аналогичной системе измерения углов: градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).
В древнем Вавилоне для дробей был принят постоянный знаменатель, равный 60-ти. Вавилоняне пользовались шестидесятеричной позиционной системой счисления. Несмотря на то, что происхождение такой системы остается неясным, факт ее широкого распространения в Вавилонском государстве точно установлен. Эта система сохранилась и до наших дней (например, в делении часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд и в аналогичной системе измерения углов: градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).
Таблица умножения
На основе Вавилонской системы счисления были составлены различные вычислительные таблицы. Кроме таблиц умножения и таблиц обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали таблицы квадратных корней и кубических чисел.
Гипотезы о причинах появления шестидесятеричной системы счисления.
1. Теон Александрийский (конец 4-го и начало 5-го века н.э.)
Теон считал, что число 60 было выбрано вавилонянами в качестве основы системы счисления из-за его арифметических свойств: оно имеет наибольшее количество различных делителей.
2. Гипотеза Тюро-Данжена (1932)
Тюро-Данжена предположил, что в древние времена вавилонская нумерация имела смешанный десятично - шестеричный характер; число 60 играло роль нашей "сотни". Тюро-Данжена считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
Гипотезы о причинах появления шестидесятеричной системы счисления.
3. Гипотеза Нейгебауера (1927)
Гипотеза О. Нейгебауера заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время существовали одновременно две денежные единицы: шекель и мина, и было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелям. Это и было причиной возникновения шестидесятеричной системы счисления.
4. Гипотеза Веселовского И.Н. (1959)
Гипотеза Веселовского связана с использованием двенадцатеричной системы счисления и подсчетом на пальцах (60 = 5×12, где 5 - количество пальцев на руке)
5. Гипотеза Кевича (1904)
Кевич предполагает, что шестидесятеричная система возникла в результате смешения двух систем, которые ранее существовали независимо: десятичной и шестеричной. Одной из них, по мнению Кевича, должна быть шумерская система исчисления, другой - аккадская. Гипотеза плохо подкреплена фактами, оставляя открытым вопрос о том, у какого из двух народов, шумерского или аккадского, первоначально была шестеричная система счисления.
НАШЕ МНЕНИЕ
Мы не пришли к единому мнению. С одной стороны гипотеза
Веселовского И.Н. показалась нам естественной. Ведь многие из нас использовали пальцы для счета. Но математика наука строгая и целесообразная, поэтому гипотезу Тюро-Данжена считаем верной.
Основой шестидесятеричной системы стала более древняя десятерично- шестеричная шумерская система счисления, которая тоже связана с пальцевым счётом. В этой системе было сложно умножать и делить, поэтому появилась система с одним основанием 60.
Мы не пришли к единому мнению. С одной стороны гипотеза
Веселовского И.Н. показалась нам естественной. Ведь многие из нас использовали пальцы для счета. Но математика наука строгая и целесообразная, поэтому гипотезу Тюро-Данжена считаем верной.
Основой шестидесятеричной системы стала более древняя десятерично- шестеричная шумерская система счисления, которая тоже связана с пальцевым счётом. В этой системе было сложно умножать и делить, поэтому появилась система с одним основанием 60.
ДРЕВНИЙ РИМ
Собственная система дробей была в Древнем Риме. Она была основана на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась acc. Двенадцатая доля acc называлась унцией. А путь, время и другие значения сравнивались с визуальной вещью - весом. Например, римлянин мог бы сказать, что он прошел пять унций пути. Конечно, никто не взвешивал путь. Это означало, что было пройдено 5/12 пути.
Вместо 1/12 римляне говорили - одна унция; 5/12 -пять унций; три унции назывались четвертью (3/12 = 1/4); четыре унции назывались третью (4/12 = 1/3);шесть унций назывались половиной (6/12 = 1/2).
Вместо 1/12 римляне говорили - одна унция; 5/12 -пять унций; три унции назывались четвертью (3/12 = 1/4); четыре унции назывались третью (4/12 = 1/3);шесть унций назывались половиной (6/12 = 1/2).
"Они скрупулезно изучили этот вопрос". Так можно сказать про нас. Мы внимательно изучали историю дробей Это означает, что вопрос изучен до конца, что не осталось никаких "белых пятен". Странное слово "скрупулезно" произошло от римского названия 1/288 acca - "скрупулезный".
Были в ходу и такие названия: "semis" - половина ассы, "sextant" - ее шестая доля, "semiounce" - половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего было использовано 18 различных названий .
Чтобы облегчить работу с такими дробями были составлены специальные таблицы сложения и умножения дробей. Эти таблицы или запоминали или просто пользовались ими. Некоторые таблицы дошли до нас.
В настоящее время в унциях измеряется вес боксёрских перчаток и теннисных ракеток в США и Англии. А также используют для измерения веса драгоценных металлов.
"Асс"- единица измерения в фармакологии.
НАШЕ МНЕНИЕ
История дробей, показывает, что работа не только выдающихся математиков расширяли знания о дробях, создавали алгоритмы действий с дробями. Богатый жизненный опыт самих народов способствовал развитию дробей. Система дробей Древнего Вавилона была достаточно громоздкой, главной проблемой её было деление. При умножении и делении приходилось использовать таблицы. Лично нам понравилось раскладывать дроби на сумму аликвотных дробей. Это увлекательно. Считаем египетскую систему дробей более доступной и развитой.
История дробей, показывает, что работа не только выдающихся математиков расширяли знания о дробях, создавали алгоритмы действий с дробями. Богатый жизненный опыт самих народов способствовал развитию дробей. Система дробей Древнего Вавилона была достаточно громоздкой, главной проблемой её было деление. При умножении и делении приходилось использовать таблицы. Лично нам понравилось раскладывать дроби на сумму аликвотных дробей. Это увлекательно. Считаем египетскую систему дробей более доступной и развитой.
